الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

خطوة 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $e^{t}$ في $e^{- t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

خطوة 2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

خطوة 2.2.1.3

أضف $- t$ و $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

خطوة 2.2.2

بسّط $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - e^{t}$

خطوة 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

خطوة 5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

خطوة 6

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{t}$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

خطوة 7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (e^{t})$ .

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

خطوة 9

اضرب $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $e^{- t}$ و $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.2

اضرب $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.2.2

اضرب $\frac{1}{1 + e^{t}}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.3

اضرب $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.3.2

اضرب $\frac{1}{1 + e^{t}}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.3.3

اجمع $\frac{1}{1 + e^{t}}$ و $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

خطوة 10.4

اضرب $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

خطوة 10.4.2

اضرب $\frac{1}{1 + e^{t}}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

خطوة 10.4.3

اجمع $\frac{1}{1 + e^{t}}$ و $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$